三種統計模型的區別與聯系
北京航空航天大學物理學院 郝維昌
一個物理系統由N個粒子組成，總能量為E，存在i個能級，第i能級能量為εi，第i能級存在gi態，若把ni個粒子分配給gi態上，約束條件：
1) Bose-Einstein statistics （波色-愛因斯坦統計）
粒子不可分辨，每個態上粒子數不受限制，第i個能級上的狀態數
總的微觀狀態數i種狀態數聯乘
當粒子數很大時
拉格朗日乘子法，在約束條件下使Ω分布最大化，其變分為零
因此，能量為εi的第i個能級的微觀狀態分布函數為
取消粒子數的限制α=0
令
- 2) Fermi-Dirac statistics （費米-狄拉克統計）
把ni粒子分配到gi態上，粒子不可分辨且一個態只能存在一個粒子(Pauli不相容)，第i個能級上的狀態數
總的微觀狀態數
同樣適用拉格朗日乘子法
因此，能量為εi的第i個能級的微觀狀態分布函數為
- 3) Boltzman-Maxwell statistics（玻爾茲曼–麥克斯韋統計）
把ni粒子分配到gi態上，粒子在每個態上數目不受限制且粒子是可分辨態，第i個能級上的狀態數
N個粒子，當不同粒子交換后存在不同微觀狀態，同一個能級ni粒子，粒子交換不改變分布，因此有因子
，總的微觀狀態數
同樣利用拉格朗日乘子法
因此，能量為εi的第i個能級的微觀狀態分布函數為
由此可見經典系統不一定比量子簡單，很多時候我們之所以對量子系統或者量子力學的理解不夠深刻，源于我們對經典物理的一知半解。
上面的分析太數學了，下面舉一個具體的例子進行說明。
某一物理系統中第i個能級中存在3個態(gi=3), 有2個粒子（ni=2）需要分配到這三個態上，看一下第i能級最終狀態數wi
（1） 玻色子(粒子不可分辨用兩個粒子均表示為A，兩個粒子可以存在于同一個態上)
|
微觀狀態 | g1 | g2 | g3 |
粒子分布情況枚舉 | AA | ||
AA | |||
AA | |||
A | A | ||
A | A | ||
A | A |
（2） 費米子(粒子不可分辨用兩個粒子均表示為A，由于泡利不相容原理兩個粒子不能存在于同一個態上)
|
微觀狀態 | g1 | g2 | g3 |
粒子分布情況枚舉 | A | A | |
A | A | ||
A | A |
（3） 玻爾茲曼統計（粒子不可分辨用兩個粒子分別表示為A、B，兩個粒子可以存在于同一個態上）
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微觀狀態 | g1 | g2 | g3 |
粒子分布情況枚舉 | AB | ||
AB | |||
AB | |||
A | B | ||
B | A | ||
A | B | ||
B | A | ||
A | B | ||
B | A |
留給朋友們一個問題，為何這些統計模型都是指數函數？玻爾茲曼統計與玻色統計和費米統計之間內在聯系是什么？
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